Как найти точку пересечения системы уравнений. Простейшие задачи с прямой на плоскости

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решениемсистемы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение одной прямой.
2) Составить уравнение второй прямой.
3) Выяснить взаимное расположение прямых.
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Пример 13.

Найти точку пересечения прямых

Решение : Точку пересечения целесообразно искать аналитическим методом. Решим систему:

Ответ :

П.6.4. Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точкидо прямой выражается формулой

Пример 14.

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно - аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

П.6.5. Угол между прямыми.

Пример 15.

Найти угол между прямыми .

1. Проверяем перпендикулярны ли прямые:

Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2. Угол между прямыми найдём с помощью формулы:

Таким образом:

Ответ :

Кривые второго порядка. Окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

1.Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М 0 (х 0 , у 0) постоянно и равно R. Точка М 0 называется центром окружности, а число R – ее радиусом

– уравнение окружности с центром в точке М 0 (х 0 , у 0) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

– каноническое уравнение окружности.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса .

– каноническое уравнение эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х 2 + у 2 = а 2 .

Гипербола

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами , есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).

Пусть F 1 , F 2 – фокусы, расстояние между ними обозначим через 2с, параметром параболы).

– каноническое уравнение параболы.

Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у. Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат О х у, то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 (x 0 , y 0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить, будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 (x 0 , y 0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5 x - 2 y - 16 = 0 и 2 x - 5 y - 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами (2 , - 3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5 · 2 - 2 · (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 - 5 · (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Оба равенства верные, значит М 0 (2 , - 3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2 , - 3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5 x + 3 y - 1 = 0 и 7 x - 2 y + 11 = 0 в точке M 0 (2 , - 3) ?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5 · 2 + 3 · (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 - 2 · (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7 x - 2 y + 11 = 0 . Отсюда имеем, что точка М 0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М 0 - это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (- 1 , 2) .

Ответ: точка с координатами (2 , - 3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у. При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения, необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Пример 3

Заданы две прямые x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 · 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 (4 , 2) является точкой пересечения прямых x - 9 y + 14 = 0 и 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x - 5 = y - 4 - 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x - 5 = y - 4 - 3 и преобразуем. Получаем, что

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 · x = - 5 · y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · (- 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 (- 5 , 1) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 .

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x - 5 = y - 4 - 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

При решении получаем, что λ = - 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x - 5 = y - 4 - 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = - 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Ответ: M 0 (- 5 , 1) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 и 4 3 x - y - 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y - 4 = 1 и y = 4 3 x - 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = (2 , 2 - 3) является нормальным вектором прямой 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = (2 , 2 - 3) и n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Получим равенство вида 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x - 1 = 0 и y = 5 4 x - 2 .

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 (1 2 , - 11 8) .

Ответ: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Решение

Составляем систему x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 · 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 имеет координаты (1 , - 3 , 0) .

Ответ: (1 , - 3 , 0) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 и x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Пример 11

Заданы две прямые x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y - 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Находим координаты 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = - 2 y = 3 z = - 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (- 2 , 3 , - 5) .

Ответ: (- 2 , 3 , - 5) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

• Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
• Пример . Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {\displaystyle y-12=-2x} . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

1. Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.

   • Пример . Так как y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x} , то можно записать такое равенство: .

2. Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).

   • Пример . x + 3 = 12 − 2 x {\displaystyle x+3=12-2x}
   • Прибавьте 2 x {\displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
   • 3 x + 3 = 12 {\displaystyle 3x+3=12}
   • Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
   • 3 x = 9 {\displaystyle 3x=9}
   • Разделите каждую сторону уравнения на 3:
   • x = 3 {\displaystyle x=3} .

3. Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = x + 3 {\displaystyle y=x+3}
   • y = 3 + 3 {\displaystyle y=3+3}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}

4. Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.

   • Пример: x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x}
   • y = 12 − 2 (3) {\displaystyle y=12-2(3)}
   • y = 12 − 6 {\displaystyle y=12-6}
   • y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.

5. Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).

   • Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 6 {\displaystyle y=6}
   • Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).

6. Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

   • Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {\displaystyle 0=1} ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
   • Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {\displaystyle 3=3} ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.

   Задачи с квадратичными функциями

   1. Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {\displaystyle x^{2}} или y 2 {\displaystyle y^{2}} . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.

   2. Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.

      • Пример . Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
      • Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
      • и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7} .
      • В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.

   3. Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.

      • Пример . y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7}

   4. Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.

      • Пример . x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
      • Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
      • x 2 + x + 1 = 7 {\displaystyle x^{2}+x+1=7}
      • Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:

   5. Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .

      • Пример . x 2 + x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-6=0}
      • При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {\displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
      • В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {\displaystyle -6*1} , − 3 ∗ 2 {\displaystyle -3*2} , − 2 ∗ 3 {\displaystyle -2*3} , − 1 ∗ 6 {\displaystyle -1*6} .
      • В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {\displaystyle -2*3=-6} ), так как − 2 + 3 = 1 {\displaystyle -2+3=1} .
      • Заполните пробелы найденной парой чисел: .

   6. Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:

      • Пример (разложение на множители) . Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} → x = 2 {\displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {\displaystyle x+3=0} → x = − 3 {\displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
      • Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата) . При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} , и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».

   7. Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:

      • Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
      • Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.